En la teoría de la probabilidad el teorema de Bayes es un resultado enunciado por Thomas Bayes en 17631 que expresa la probabilidad condicional de un evento aleatorio A dado B en términos de la distribución de probabilidad condicional del evento B dado A y la distribución de probabilidad marginal de sólo A.
En términos más generales y menos matemáticos, el teorema de Bayes es de enorme relevancia puesto que vincula la probabilidad de A dado B con la probabilidad de B dado A. Es decir que sabiendo la probabilidad de tener un dolor de cabeza dado que se tiene gripe, se podría saber (si se tiene algún dato más), la probabilidad de tener gripe si se tiene un dolor de cabeza, muestra este sencillo ejemplo la alta relevancia del teorema en cuestión para la ciencia en todas sus ramas, puesto que tiene vinculación íntima con la comprensión de la probabilidad de aspectos causales dados los efectos observados.
Probabilidad condicional es la probabilidad de que ocurra un eventoA, sabiendo que también sucede otro evento B. La probabilidad condicional se escribe P(A|B), y se lee «la probabilidad de Adado B».
No tiene por qué haber una relación causal o temporal entre A y B. A puede preceder en el tiempo a B, sucederlo o pueden ocurrir simultáneamente. A puede causar B, viceversa o pueden no tener relación causal. Las relaciones causales o temporales son nociones que no pertenecen al ámbito de la probabilidad. Pueden desempeñar un papel o no dependiendo de la interpretación que se le dé a los eventos.
Un ejemplo clásico es el lanzamiento de una moneda para luego lanzar un dado. ¿Cuál es la probabilidad de obtener una cara (moneda) y luego un 6 (dado)? Pues eso se escribiría como P (Cara | 6).
El condicionamiento de probabilidades puede lograrse aplicando el teorema de Bayes.
1. Una muestra aleatoria de 370 adultos tiene las siguientes características en cuanto a sexo y escolaridad: 226 hombres, 144 mujeres; entre la población masculina, 135 tienen sólo la primaria, 75 tienen secundaria y el resto preparatoria; en la población femenina 87 tienen primaria, 42 tienen secundaria y el resto preparatoria.
U= 370
H=226, Hp=135, Hs=75, Hb=16
M= 144, Mp=87, Ms=42, Mb=15
P= 222, S = 117, B=31 Si se elige una persona al azar de este grupo: ¿cuál es la probabilidad de que sea hombre y tenga secundaria? P(H)=226/370 = 0.611; y P(H∩S)=75/226 = 0.332 = 0.332/0.611 = 0.543 = 54.3%
• ¿cuál es la probabilidad de que sea mujer y no tenga preparatoria?
P(M)=144/370 = 0.3892; P(M∩B)=15/144 = 0.1042
Que sea mujer y tenga preparatoria
= 0.1042/ 0.3892 = 0.2677 = 26.77%
Por lo tanto, que sea mujer y que no tenga preparatoria
P(nB|A) = 1— 0.2677 = 0.7323= 73.23%
2. Un estudio que muestra la relación que hay entre la hipertensión y el fumar arrojó los siguientes resultados: 77 de 135 hipertensos fumaban en exceso, 36 fumaban con moderación y el resto no fumaba; 55 de 93 no hipertensos fumaban en exceso, 33 fumaban con moderación y el resto no fumaba. Encuentra la probabilidad de que al elegir un individuo al azar sea hipertenso y fume en exceso. ¿Cuál es la probabilidad de que no sea hipertenso y no fume? H = 135
Si un Experimento consta de m etapas o pasos para realizarse y la primera etapa puede cumplirse de k1 maneras posibles, la segunda etapa puede cumplirse en k2 maneras posibles, . . . y la ultima etapa puede cumplirse en km maneras posibles entonces el experimento puede realizarse de k1 x k2 x k3x ... km maneras diferentes, es decir, puede dar origen a k1 x k2 x k3 x ... km posibles resultados
Regla de multiplicación: Ejemplo 1 Una prueba consta de tres preguntas del tipo verdadero/falso. de cuantas maneras diferentes puede responderse esta pregunta?
utilizando la regla de multiplicación m=3, k1=2, k2=2, k3=3 se obtiene que la prueba puede responderse de 2 x 2 x 2 = 8 maneras diferentes. las 8 posibilidades son VVV VVF VFV FVV VFF FVF FFV FFF
1) Sea A el suceso de sacar un As de una baraja estándar de 52 cartas y B sacar una carta con corazón rojo. Calcular la probabilidad de sacar un As o un corazón rojo o ambos en una sola extracción.
Solución:
A y B son sucesos no mutuamente excluyentes porque puede sacarse el as de corazón rojo.
Las probabilidades son:
Reemplazando los anteriores valores en la regla general de la adición de probabilidades para eventos no mutuamente excluyentes se obtiene:
2) En una urna existe 10 bolas numeradas del 1 al 10. ¿Qué probabilidad existe de sacar en una sola extracción una bola enumerada con un número par o con un número primo?
Solución:
O también, realizando un diagrama de Venn-Euler se obtiene:
3) En una clase, 10 alumnos tienen como preferencia solamente la asignatura de Matemática, 15 prefieren solamente Estadística, 20 prefieren Matemática y Estadística y 5 no tienen preferencia por ninguna de estas asignaturas. Calcular la probabilidad que de un alumno de la clase seleccionado al azar tenga preferencia por Matemática o Estadística o ambas asignaturas.
Solución:
Realizando un diagrama de Venn-Euler se obtiene:
Simbología:
S = espacio muestral
A= Matemática
B = Estadística
a = Solamente Matemática
b = Solamente Estadística
c = Matemática y Estadística
d = Ninguna de las dos asignaturas
Datos y cálculos:
Entonces, aplicando la fórmula de la probabilidad teórica se obtiene:
Los cálculos en Excel se muestran en la siguiente figura:
4) En un grupo de 50 personas, 6 tienen como preferencia solamente el color amarrillo, 10 prefieren solamente el color blanco, 6 prefieren el color amarrillo y blanco, 10 prefieren el color blanco y café, 12 prefieren el color amarrillo y café, 4 prefieren los 3 colores y 10 no tienen preferencia por ninguno de los tres colores.
4.1) Elaborar un diagrama de Venn-Euler
4.2) Calcular la probabilidad que de una persona del grupo seleccionada al azar tenga preferencia por lo menos uno de los tres colores.
Solución:
4.2)
Entonces, aplicando la fórmula de la probabilidad teórica se obtiene:
Nota:
Si A, B y C son tres eventos cualesquiera de modo que ocurra A o bien B o bien C o bien los tres a la vez se emplea la regla:
Observando el diagrama de de Venn-Euler se tiene que:
Reemplazando valores en la regla se obtiene:
Los cálculos en se muestran en la siguiente figura:
Si dos eventos A y B son mutuamente excluyentes, esta regla indica que la probabilidad de que ocurra uno u otro de los eventos, es igual a la suma de sus probabilidades.
P(A ó B) = P(A U B)
P(A U B) = P(A)+ P (B)
P(A ó B ó...ó Z) = P(A U B U...U Z)
P(A U B U...UZ)= P(A)+ P(B) +... P(Z)
REGLA GENERAL DE LA ADICIÓN
Cuando los eventos no son mutuamente excluyentes, la probabilidad de la ocurrencia conjunta de los dos eventos, se resta de la suma de las probabilidades de los dos eventos.
P(A ó B) = P(A) + P(B) - P(A y B)
En la teoría de conjuntos, la ocurrencia conjunta hace referencia a la intersección, por lo tanto:
P(A y B) = P(A ∩B)
Entonces: P(A U B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B)
EJERCICIO:
Se gira una ruleta que esta enumerada del 1 al 8. Contestemos lo siguiente:
1.- Al girar la ruleta, ¿qué probabilidad existe de que la ruleta se detenga en...
a) El número 5 o 7? 1/8+1/8=2/8
b) Un número menor que 1 o 3?
c) Un múltiplo de 2 o de 3?
d) Un número impar o par?
La probabilidad es un método por el cual se obtiene la frecuencia de un suceso determinado mediante la realización de un experimento aleatorio, del que se conocen todos los resultados posibles, bajo condiciones suficientemente estables.
La teoría de la probabilidad se usa extensamente en áreas como la estadística, la física, la matemática, las ciencias y la filosofía para sacar conclusiones sobre la probabilidad discreta de sucesos potenciales y la mecánica subyacente discreta de sistemas complejos, por lo tanto es la rama de las matemáticas que estudia, mide o determina a los experimentos o fenómenos aleatorios.
5Una urna contiene tres bolas rojas y siete blancas. Se extraen dos bolas al azar. Escribir el espacio muestral y hallar la probabilidad de los sucesos:
6Se extrae una bola de una urna que contiene
4 bolas rojas, 5 blancas y 6 negras, ¿cuál es la probabilidad de que la bola sea roja o blanca? ¿Cuál es la probabilidad de que no sea blanca?
7En una clase hay 10 alumnas rubias, 20 morenas, cinco alumnos rubios y 10 morenos. Un día asisten 45 alumnos, encontrar la probabilidad de que un alumno:
